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掌握隔板模型,排列组合其实很简单

发布:2021-08-04 10:18:17    来源:山西公务员考试网 字号: | | 我要提问我要提问
  在排列组合这一大题型当中,同学们可能会遇到一类比较特殊的题型——隔板模型,一般我们也把这类特殊的题型叫做同素分堆问题。在做题过程中,如果我们不理解这个知识点,或者考虑这类问题思路单一,那么同学们可能就做不出来,或者容易做错。但其实只要我们转换思路,了解原理,将同类型的题目转化为隔板模型去做,那么排列组合就很简单了,在考试过程中也可以快速的拿分。接下来就带着大家来一起学习这种方法。
 
 
  基本概念
 
  把n个相同元素分给m个不同的对象,每个对象至少一个元素,则共有\种分法。
 
  接下来,我们用一道简单的例题来了解其中的原理。
 
  【例1】
 
  某幼儿园老师购买了10个苹果,打算分给3个不同的小朋友,每人至少分到一个苹果,共有多少种不同的分法?
 
  A.16 B.28 C.36 D.48
 
  【解析】答案:C。如果我们按照正常的思路去解题的话,3个小朋友,每个小朋友最少分1个,最多分8个,所以存在很多情况,解起题来就十分麻烦。但是如图所示,如果我们把10个苹果摆成一排,这样分给3个人,每人至少一个,就只需要拿两块板把这一排苹果隔成3堆就可以了,这就是我们所说的隔板模型。
 
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  从图中可以看出,如果要分成3堆,则需要2块板,而且既然要保证每人都有苹果,所以最两边不能插板,相当于是从中间的9个空中选择两个空插入2个板,此时结合排列组合的知识点可知,共有的方法有:种。故此题选C。
 
  所以由此可见,只要一道题满足n个相同元素分给m个不同对象,并且全部分完没有剩余,每个对象必须至少分一个,那么我们就可以直接利用这个结论去做题了。
 
  题目变型
 
  但其实同学们更多的是遇到隔板模型的变形题,题目中的条件可能会发生变化,比如接下来这道题:
 
  【例2】
 
  某单位订阅了30份相同的学习材料发放给3个部门,每个部门至少发放9份材料,问一共有多少种不同的发放方法?
 
  A.7 B.9 C.10 D.12
 
  【解析】答案:C。这道题目在分配方式上发生了变化,不再是每个对象至少分一个,所以就不能直接用刚才的结论去解题,此时我们就需要将题干中不满足隔板模型基本特征的条件进行转化,把每个部门至少发放9份转化成每个部门至少发放1份,那就需要先给每个部门发放8份,则3个部门就先发放了24份,此时还剩下6份,接着继续分给这3个部门,而此时每个部门至少再发放一份,满足隔板模型的基本特征,利用刚才总结的结论,则共有种。故此题选C。
 
  【例3】
 
  将12个一样的汽车模型全部分给3个小朋友,任意分,共有多少种不同的分配方式?
 
  A.91 B.100 C.121 D.135
 
  【解析】答案:A。这道题目不满足隔板模型中的每个对象至少分一个的特征,所以同样要进行转化,先从每个小朋友手里借一个,所以3个小朋友就共借出了3个,再加上原来有的12个,则共有15个汽车模型,此时再去分配的话,由于最初借了,那现在就需要去归还,所以每人至少分一个,满足隔板模型基本特征,则直接利用结论,共有种分配方式。故此题选A。
 
  总结
 
  对于隔板模型,大家需要在理解模型的基础上再去熟练掌握标准模型的公式,那么在面对变形题目时,我们才能熟练运用先分或先借的思维转化成标准模型去进行求解,从而在考试中快速拿分,拔得头筹。

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